Комбинаторная геометрия рыб, или то, чего не заметили ихтиологи

Известный в кристаллографии метод разбиения плоскости по Делоне можно применить к анализу поверхности тела рыб отряда иглобрюхообразных. Результаты такого анализа предлагается использовать в качестве дополнительного способа оценки таксономической близости (эволюционного родства) организмов.

Иногда методы одних наук оказываются корректными и даже необходимыми в других областях знаний. Так, индекс Шеннона, использованный математиком и физиком Клодом Шенноном в теории информации, применяется для оценки степени структурированности и меры разнообразия биоценозов; закономерности нелинейной термодинамики, выявленные физиком и химиком Ильей Пригожиным, приложимы к развитию биологических систем.

В данной работе Ю. Л. Войтеховский предложил новые биометрические характеристики для описания рыб семейств кузовковых (Ostraciidae) и двузубых, или рыб-ежей (Diodontidae) отряда иглобрюхообразных (Tetraodontiformes). Этот отряд включает 10 семейств, к которым принадлежит около 320 видов тропических и субтропических, в основном морских рыб. У всех представителей отряда верхнечелюстные кости плотно соединены или вовсе срастаются друг с другом. У некоторых групп развивается воздушный мешок, представляющий собой вырост кишечника. В моменты опасности такие рыбы могут наполнять его водой или воздухом и раздуваться. Чешуйный покров обычно сильно видоизменен и представлен костными пластинками, шипами, иглами или мелкими шипиками. Тело у иглобрюхообразных неуклюжее, плавники развиты слабо. Как правило, эти рыбы обладают яркой окраской и выглядят весьма привлекательно.

Новые методы анализа морфологии этих рыб, предложенные Ю. Л. Войтеховским, основаны на комбинаторно-геометрическом разбиении поверхности тела с помощью (R, r)-систем. Понятие (R, r)-систем ввел российский математик Б. Н. Делоне для исследования кристаллов: r - минимальное расстояние между точками системы - говорит о ее дискретности; R - радиус окружности, покрывающей все точки системы - говорит о ее однородности. Триангуляция Делоне - это разбиение плоскости на треугольники с помощью предварительного покрытия ее окружностями, каждая из которых включает все три вершины своего треугольника (в трехмерном случае триангуляция Делоне определяется аналогично, только строятся тетраэдры и сферы, описанные вокруг каждого тетраэдра) (рис. 2).

Триангуляция Делоне однозначно соответствует диаграмме Г. Ф. Вороного, которая представляет собой разбиение плоскости на полигональные фигуры (Г. Ф. Вороной описал диаграммы для многомерного пространства, а до него для двух- и трехмерных вариантов такое разбиение привел П. Дирихле.

Эти две конструкции взаимно определяют друг друга, т. е. из одной можно вывести другую и наоборот: если соединить соседние центры областей (диаграмма Вороного), то получается сетка, состоящая их треугольников (триангуляция Делоне) (рис. 3).

Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного применяются не только в кристаллографии, но и в карто-графии, астрономии и даже маркетинге. Для не-математиков очень ясное описание такого разбиения плоскостей можно найти здесь.

Ю. Л. Войтеховский на основе рисунков, размещенных в интернете, обратил внимание на полигональные костные пластины, покрывающие тело рыб родов Acanthostracion и Tetrosomus, относящихся к семейству кузовковых, и предположил, что данные пластины могли бы быть фуллеренами (многогранниками, имеющими n вершин и ровно 12 пятиугольных граней и n / 2 10 шестиугольных граней), если бы не встречавшиеся на рисунках четырех- и семиугольники.

Однако ни Acanthostracion (рис. 1), ни Tetrosomus (рис. 4), заявленных в разделе «Материалы и методы», автор не нашел. Потому расчеты были выполнены на Diodon holocanthus - представителе семейства Diodontidae того же отряда Tetraodontiformes. Рыбы вида D. holocanthus не имеют панциря, но «основания их игл красноречиво и однозначно задают на сферической поверхности [тела] (R, r)-системы, для которых эти разбиения могут быть построены».

Было изучено четыре экземпляра D. holocanthus, три из которых имели диаметр 10-12 см, а один - 25 см. На поверхности тела рыб провели триангуляцию по Делоне и сопряженное с ней полигональные разбиения по Дирихле (= диаграмма Вороного). Выяснилось, что у всех рыб преобладали пяти- и шестиугольные полигоны, и значительно реже встречались четырех- и семиугольные полигоны (как и у Ostraciidae). Большое количество (десятки) пятиугольников и наличие четырех- и семиугольников свидетельствуют о том, что получившиеся полиэдры не являются фуллеренами. Отношение количества шестиугольников к пятиугольникам оказалось близким у маленьких D. holocanthus (1,3-1,4), а у крупного экземпляра - существенно ниже (0,35).

Автор считает, что сходство (R, r)-систем поверхности тела рыб семейства Diodontidae и пластин панциря рыб семейства Ostraciidae подчеркивает их таксономическую близость и «указывает на общую эволюционную причину», а несовпадение соотношения пяти- и шестиугольников у мелких и крупного экземпляров D. holocanthus свидетельствует о принадлежности последнего к отдельному подвиду, или есть результат модификационной изменчивости, или особенность индивидуального развития. Автор полагает, что «теория (R, r)-систем приспособлена к изучению морфологии рыб отряда Tetraodontiformes и предоставляет для этого развитой понятийный аппарат».

Возможно, статистическое сходство полигональных структур действительно является маркером генетической близости биологических объектов, а различие, напротив, отражает воздействие каких-либо «по-сторонних» факторов, например экологических условий (подобно флуктуирующей асимметрии билате-ральных признаков). В данном ракурсе «геометрические мотивы» действительно могут иметь «информационное содержание». В таком случае круг дальнейших исследований весьма широк. К объектам интереса подобных изысканий можно отнести не только колониальную водоросль Pandorina morum (Ю. Л. Войтеховский и др. 2006. Принцип Кюри и морфологическое разнообразие колоний Pandorina morum) или радиолярий рода Circogonia (Ю. Л. Войтеховский. О кристаллах, полиэдрах, радиоляриях, вольвоксах, фуллеренах и немного - природе вещей), но и с не меньшим успехом:

- вымерших панцирных рыб;

- черепах;

- броненосцев;

- морских ежей;

- варанов;

- панголинов;

- кипарисы;

- динофлагеллят;

- некоторые виды кактусов;

- споры, к примеру, головневых грибов... словом, многих из тех организмов, которым необходимо прочное внешнее покрытие (рис. 5).

Сходство, в частности, полигонального строения поверхности тела, может иметь разные причины. Кроме таксономической (эволюционной) близости видов, оно может быть вызвано и параллельным развитием схожих признаков у разных групп (см.: Параллелизмы и гомологическая изменчивость). При этом, однако, не исключено, что частотное распределение полигонов - признак, характерный, по крайней мере статистически, для вида или группы видов.

Вывод данной работы звучит следующим образом: «в минеральной и биологической природе действуют: общие принципы целесообразности, скорее всего, не сводящиеся лишь к экономии вещества и энергии, но имеющие информационное содержание». Этот вывод перекликается с одним из начальных положений статьи: «симметрия - мощный принцип отбора целесообразных форм в минеральной и биологической природе».

Впрочем, нельзя забывать, что симметрия - в виде идеи - не может быть ни принципом, ни целью естественного отбора, да и вообще у эволюции не было и нет никакой цели. Живые организмы (или их органы) выглядят «целесообразными» (приспособленными к условиям существования) просто потому, что неприспособленные вымирают.

Симметрия в живой природе определяется факторами отбора, которые зависят от внешней среды. Абсолютно симметричной среде соответствует максимальная степень симметрии организмов. Первые, появившиеся примерно 3,5 млрд лет назад, одноклеточные существа плавали в толще воды и имели максимально возможную симметрию - шаровую. В. Н. Беклемишев в своем классическом труде «Основы сравнительной анатомии беспозвоночных» выделил три типа симметрии, расположив их в эволюционный ряд: шаровая (у примитивных плавающих организмов); радиальная (у прикрепленных форм) ; билатеральная (у продвинутых активно двигающихся животных).

Междисциплинарный подход к методологии или общему взгляду на природу вещей либо не дает ничего, либо дает интересные результаты. «Непонятное явление, обнаруженное в одной сфере, может быть истолковано по аналогии со сходным - в другой. Конечно, аналогия не доказательство, но она помогает найти искомое доказательство, со значительной долей вероятия мы уже знаем, куда надо идти, какие наблюдения и эксперименты ставить» (Б. М. Медников «Аналогия»).

Источник: www.elementy.ru